Нет, с самозанятым заключить договор нельзя.
Согласно ст. 2 Федерального закона от 10.12.1995 № 196-ФЗ (ред. от 13.07.2015) "О безопасности дорожного движения" водитель транспортного средства - лицо, управляющее транспортным средством (в том числе обучающее управлению транспортным средством).
Согласно Федеральному закону от 08.11.2007 № 259-ФЗ (ред. от 13.07.2015) "Устав автомобильного транспорта и городского наземного электрического транспорта" в качестве перевозчика может выступать только юридическое лицо, индивидуальный предприниматель, принявшие на себя по договору перевозки пассажира, договору перевозки груза обязанность перевезти пассажира и доставить багаж, а также перевезти вверенный грузоотправителем груз в пункт назначения и выдать багаж, груз управомоченному на их получение лицу.
Таким образом, водителем может быть либо работник организации, либо индивидуальный предприниматель.
О том, как составить договоры гражданско-правового характера с физлицами, читайте в Системе Главбух.
Договоры гражданско-правового характера